Элементарные функции алгебры логики
Существует несколько синонимов по отношению к функциям алгебры логики:
- функции алгебры логики (ФАЛ);
- переключательные функции;
- булевские функции;
- двоичные функции.
По мере необходимости будем пользоваться всеми этими синонимами.
Рассмотрим некоторый набор аргументов:
<X1,X2,X3,...Хi,...Xn>
и будем считать, что каждый из аргументов принимает только одно из двух возможных значений, независимо от других
Чему равно число различных наборов?
Xi = {0, 1}
Поставим каждому набору в соответствие некоторое двоичное число:
X1,X2,...........Xn
0, 0,...........,0 нулевой набор 0, 0,...........,1 первый набор 0, 0,..........1,0 второй набор ................... 1, 1,...........,1 (2n-1)-ый набор
Очевидно, что количество различных X1,X2,...........Xn n-разрядных чисел в позиционной двоичной системе есть 2n.
Допустим, что некоторая функция F(X1,X2,....Xn) задана на этих наборах и на каждом из них она принимает либо '0'-ое, либо '1'-ое значение.
Такую функцию называют функцией алгебры логики или переключательной функцией.
Чему равно число различных переключательных функций 'n' аргументов?
Т.к. функция на каждом наборе может принять значение '0' или '1', а всего различных наборов 2n, то общее число различных функций 'n' аргументов есть: 22n.
По сравнению с аналитической функцией непрерывного аргумента даже для одного аргумента существует множество различных функций.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 4 | 16 | 256 | 65536 | ~4*109 | ~10300 |
Различные устройства ЭВМ содержат десятки и сотни переменных (аргументов), поэтому понятно, что число различных устройств, отличающихся друг от друга, практически бесконечно.
Итак, нужно научиться строить эти сложные функции (а стало быть, и устройства), а также анализировать их.
| Задача синтеза более сложных функций заключается в представлении их через простые на основе операций суперпозиции и подстановки аргументов. |
Таким образом, вначале необходимо изучить эти элементарные функции, чтобы на их основе строить более сложные.
