Операция (стрелка) Пирса

f8(x1,x2)

x1x2f8

0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	0

Эту функцию можем представить, записав по "единицам":

f8(x1,x2) = x1x2 = x1

x2

или

x1

x2 = x1x2

На основе принципа суперпозиции:

f(x1,x2,...xn) = x1

x2x3. . . xn = x1x2x3 . . .xn

Применяя правило де Моргана:

x1

x2x3. . .xn = x1x2x3 . . .xn = x1 x2 x3 . . . xn

или:

x1

x2x3. . .xn = x1 x2 x3 . . . xn

т.е.

x1

x2x3. . .xn = x1 x2 x3 . . . xn

Рассмотрим некоторые соотношения для операции Пирса:

x

x = xx = x

x1

x2 = x1x2 = x2x1 = x2x1

x1

x2x3 = (x1x2)x3 = x1x2x3 x1(x2x3),

т.е. операция Пирса не обладает свойством ассоциативности

x1

x2x3 = (x1x2)x3 = x1(x2x3)

x1

x2x3x4 = (x1x2)(x3x4)

При этом порядок выполнения операций в формулах, где есть операции Пирса такой:

1. раскрываются скобки
2. выполняются операции инверсии
3. выполняются операции Пирса

Синтез логических функций в базисе Пирса удобно производить, имея запись функции в КНФ.

Допустим, что ФАЛ задана в конъюктивной форме

f = Q1Q2Q3 . . . Qn

Подставим член Qi в виде:

Qi = (xr

xp xq . . . xw xf xe . . . xz)

Возьмем двойное отрицание от обеих частей этого равенства, применив правило де Моргана

Qi = (xr

xp xq . . . xw xf

xe

. . . xz) = (xr * xp * xq * . . . xw * xf * xe * . . . * xz)

Применяя соотношение, полученное на основе принципа суперпозиции:

Qi = (xr

xpxq. . .xwxf

xe

. . .xz)

Или, применяя это преобразование к исходной форме, получим:

f = Q1

Q2Q3. . .Qn

Итак: чтобы от КНФ перейти к базису Пирса и инверсии необходимо:

1. заменить операции дизъюнкции операциями Пирса
2. заменить операции конъюнкции операциями Пирса
3. заключить в скобки все те группы букв, которые соответсвуют конъюнктивным членам.

Пример:

f(x1x2 x3) = (x1

x2 x3) (x1 x4) (x2 x4) = (x1x2x3)(x1x4) (x2x4)

Замечание. Так как в этих произведениях число букв не увеличивается, и если исходная форма функции была минимальной, то вновь полученная также будет минимальной (в действительности дело обстоит сложнее, поскольку мы рассматриваем не базис "

", а другой, то есть "" и "-" - операцию Пирса и инверсию).

Принципиально можно избавиться от отрицаний, применив соотношение: xi = xi

xi, но тогда нельзя будет утверждать, что полученная форма будет минимальной!

Содержание раздела

---

---